已知直线l过点M（4，0）且与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）设Q是直线x=-4上任意一点，求证：直线QA、QM、QB的斜率依

Question

已知直线l过点M（4，0）且与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点，以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设Q是直线x=-4上任意一点，求证：直线QA、QM、QB的斜率依次成等差数列．

Answer 1

（Ⅰ）∵直线l过点M（4，0），
∴设直线l方程为x=ky+4，
代入y2 =2px，得y²-2kpy-8p=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=2kp，y1 y2 =-8p，…（2分）^^ 
∵

OA

•

OB

=0，
∴0=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+4）（ky₂+4）-8p
=k²y₁y₂+4k（y₁+y₂）+16-8p，
即0=-8k²p+8k²p+16-8p，解得p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．…（6分）
（Ⅱ）证明：设Q（-4，t）由（Ⅰ）知y₁+y₂=4k，y₁y₂=-16，
∴

y

2 1

+

y

2 2

=(y1+y2)2-2y1y2=16k²+32，
∵KQA=(y1-t)/(x1+4)=(y1-t)/((y21)/(4)+4)=(4(y1-t))/(y21+16)，
KQB=(y2-t)/(x2+4)=(y2-t)/((y22)/(4)+4)=(4(y2-t))/(y22+16)，