如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M是棱PC的中点，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于点O．（1）已知：PA=2，求证：AM⊥平面PBD；（2）若二面角M-AB-D的余弦值等于217，求PA的长．

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M是棱PC的中点，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于点O．
（1）已知：PA=√(2)，求证：AM⊥平面PBD；
（2）若二面角M-AB-D的余弦值等于(√(21))/(7)，求PA的长．

Answer 1

（1）底面ABCD是边长为2的菱形，AC、BD交于点O．故O为AC的中点，
又∵点M是棱PC的中点，
∴AM、PO交点G是△PAC的重心，
∴AG=(2)/(3)AM=(2)/(3)×(1)/(2)PC=(√(6))/(3)，OG=(1)/(3)PO=(√(3))/(3)，AG²+OG²=1=AO²
∴AG⊥PO
又BD⊥AO，BD⊥PA，PA∩AO=A
∴BD⊥平面PAC，
又由AM⊂平面PAC，
∴BD⊥AM，
又由AG⊥BD，AM∩AG=A
∴AM⊥平面PBD；
（2）由MO∥PA
∴MO⊥平面ABCD，
过O作AB的垂线，垂足为N，则ON=(1)/(2)BO=(√(3))/(2)
连接MN，则MN⊥AB，
∴∠MNO即为二面角M-AB-D的平面角
则((√(3))/(2))/(√(OM2+(作业帮用户2017-11-07举报扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议))