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急求求对角矩阵设矩阵A=a10O0a2000a3其中a1a2a3互不相同,证明与A可交换的矩阵只能为对角矩阵
题目详情
急求求对角矩阵
设矩阵A=a1 0 O
0 a2 0
0 0 a3
其中a1 a2 a3互不相同,证明与A可交换的矩阵只能为对角矩阵
设矩阵A=a1 0 O
0 a2 0
0 0 a3
其中a1 a2 a3互不相同,证明与A可交换的矩阵只能为对角矩阵
▼优质解答
答案和解析
碰到“可交换”命题就这样做：
设B＝
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
是与A可交换的阵,现在来确定b11～b33这9个数
AB=
a1*b11 a1*b12 a1*b13
a2*b21 a2*b22 a2*b23
a3*b31 a3*b32 a3*b33
BA＝
a1*b11 a2*b12 a3*b13
a1*b21 a2*b22 a3*b23
a1*b31 a2*b32 a3*b33
由于AB=BA,所以对应位置的数相等.
比如：
a1*b12=a2*b12,可以得到b12=0
...
最后发现除了b11,b22,b33之外,其它都必须是0
所以B是对角阵
设B＝
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
是与A可交换的阵,现在来确定b11～b33这9个数
AB=
a1*b11 a1*b12 a1*b13
a2*b21 a2*b22 a2*b23
a3*b31 a3*b32 a3*b33
BA＝
a1*b11 a2*b12 a3*b13
a1*b21 a2*b22 a3*b23
a1*b31 a2*b32 a3*b33
由于AB=BA,所以对应位置的数相等.
比如：
a1*b12=a2*b12,可以得到b12=0
...
最后发现除了b11,b22,b33之外,其它都必须是0
所以B是对角阵
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