求救一道线性代数的题目,大侠们进来帮帮忙~设矩阵A=101,矩阵B=(KE+A)^（2）,其中K020101为实数,E为单位矩阵,求对角矩阵,使B与对角矩阵相似,并求K为何值时,B为正定矩阵.^(2)这个是平方的意

Question

求救一道线性代数的题目,大侠们进来帮帮忙~
设矩阵A=1 0 1,矩阵B=(KE+A)^（2）,其中K
0 2 0
1 0 1
为实数,E为单位矩阵,求对角矩阵,使B与对角矩阵相似,并求K为何值时,B为正定矩阵.
^(2)这个是平方的意思
矩阵A是[1 0 1,0 2 0,1 0 1]

Answer 1

设C=KE+A
先将C化为对角阵,计算C的特征值,得
C的特征值为k,k+2,k+2
因此C相似于D=（k,k+2,k+2）其中三个数都在对角线上
即存在可逆矩阵P使得C=P^(-1)DP,这里P可以求出,不再展开
B=C^2=P^(-1)(k^2,(k+2)^2,(k+2)^2)P
因此B与(k^2,(k+2)^2,(k+2)^2）相似,其中三个数都在对角线上
易知当k不等于0和-2时B为正定矩阵.