向量a=(111)^Tb=（10k）^T若矩阵ab^T相似于一个主对角线为300的对角矩阵那么k=?ab^T代表了这个矩阵来源于列向量左乘行向量这个怎么乘?还有答案上说a^Tb为矩阵ab^T的对角元素之和

Question

向量a=(1 1 1)^T b=（1 0 k）^T 若矩阵ab^T 相似于一个主对角线为 3 0 0的对角矩阵 那么k=?
ab^T 代表了这个矩阵来源于 列向量左乘行向量 这个怎么乘?
还有 答案上说a^Tb为矩阵ab^T的对角元素之和 为什么?

Answer 1

ab^T的元素如下: 每一行都相同都是(1,0,k).
根据矩阵的迹在相似变换下保持不变,故1+0+k=3+0+0, 由此可推出k=2.
另外,根据迹与矩阵相乘的顺序没有关系,可得出矩阵a^Tb的迹与ba^T的迹相等, 而ab^T为ba^T的转置矩阵,故ba^T的迹与ab^T的迹相等,从而a^Tb的迹与ab^T的迹相等.
这里,a^Tb为1x1矩阵,即使一个数,故其迹为a^Tb,而ab^T的迹为其对角线上元素之和.