求个线性代数题设矩阵A为32-2-k-1k42-3问当K为何值时,存在可逆矩阵P,使得P^-1AP为对角矩阵?并求出P和相应对角矩阵

Question

求个线性代数题
设矩阵A为 3 2 -2
-k -1 k
4 2 -3
问当K为何值时,存在可逆矩阵P,使得P^-1AP为对角矩阵?并求出P和相应对角矩阵

Answer 1

由特征方程det(A-rE)=0得(r-1)(r+1)^2=0特征向量r1=1,r2=r3=-1
r1=1,A-E~
1 0 -1
0 1 0
0 0 0
所以r1=1有3-R(A-E)=1个特征向量a1=(1,0,1)^T
r2=r3=-1时,A+E
2 1 -1
-k 0 k
0 0 0
因为A可对角化,所以此时有2个独立的特征向量,故R(A+E)=3-2=1,所以k=0,对应特征向量为
a2=(1,-2,0)^T,a3=(0,1,1)^T
所以相似矩阵P=(a1,a2,a3)=
1 1 0
0 -2 1
1 0 1
P^-1AP=(
1 0 0
0 -1 0
0 0 -1)