(2)若f(x)=根号1+x2且a,b为互异实数,求证|f(a)-f(b)|

Question

(2)若f(x)=根号1+x2且a,b为互异实数,求证|f(a)-f(b)|

Answer 1

欲证：|f(a)-f(b)| < |a-b|
只需证明：|f(a)-f(b)|^2 < |a-b|^2
即：(√(1 + a^2) - √(1 + b^2) )^2 < (a - b)^2
即：a^2 + b^2 + 2 - 2√(1+a^2)(1+b^2) < a^2 + b^2 - 2ab
即：√(1+a^2)(1+b^2) > ab + 1 ………… ①
要证明①式成立,只需证明：
(1 + a^2) (1 + b^2) > (ab + 1)^2
即：a^2 b^2 + a^2 + b^2 + 1 > a^2 b^2 + 2ab + 1
即：a^2 + b^2 > 2ab
显然上面这个式子恒成立,故：①式成立.
因此：|f(a)-f(b)| < |a-b| 成立.