已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-x)-8x=α(x)其中α(x)是当x→0时,比x高阶的无穷小,且f（x）在x=1处可导,求曲线y=f（x）在点（6,f（6））处的切线方程

Question

已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-x)-8x=α(x)其中α(x)是当x→0时,比x高阶的无穷小,且f（x）在x=1处可导,求曲线y=f（x）在点（6,f（6））处的切线方程

Answer 1

因为f(x)是连续函数,且f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)
所以当x→0时,f(1+sinx)=f(1-sinx)=f(1)=8*0+0=0
在f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)的两边同时除以sinx后取极限
lim[x→0] [f(1+sinx)-3f(1-sinx)]/sinx = lim[x→0] 8x/sinx = 8*lim[x→0] x/sinx = 8
所以lim[x→0] [f(1+sinx)-3f(1-sinx)]/sinx = 8
lim[x→0] [f(1+sinx)-f(1)]/sinx - 3*lim[x→0] [f(1-sinx)-f(1)]/sinx = 8
lim[x→0] [f(1+sinx)-f(1)]/[(1+sinx)-1] + 3*lim[x→0] [f(1)-f(1-sinx)]/[1-(1-sinx)] = 8
由于f(x)在x=1处可导,则根据导数的定义得f'(1)+3f'(1)=8
所以f'(1)=2
因为f(x)是周期为5的连续函数,则f(6)=f(1+5)=f(1)=0,f'(6)=f'(1+5)=f'(1)=2
所以曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线过点(6,0)且斜率为2
所以曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程为y=2(x-6),化为一般式为2x-y-12=0