设limx→af(x)−f(a)(x−a)2＝−1，则在x=a处（）A．f（x）的导数存在，且f′（a）≠0B．f（x）取得极大值C．f（x）取得极小值D．f（x）的导数不存在

Question

设

lim

x→a

(f(x)−f(a))/((x−a)2)＝−1，则在x=a处（　　）

A．f（x）的导数存在，且f′（a）≠0
B．f（x）取得极大值
C．f（x）取得极小值
D．f（x）的导数不存在

Answer 1

lim

x→a

(f(x)−f(a))/((x−a)2)
=

lim

x→a

(f(x)−f(a))/(x−a)(1)/(x−a)
=

lim

x→a

((f(x)−f(a))/(x−a))/(x−a)
因为：当x→a时，x-a→0，

lim

x→a

((f(x)−f(a))/(x−a))/(x−a)存在，因此：

lim

x→a

(f(x)−f(a))/(x−a)=0
即：f'（a）=0
故A，D不正确．
又因为：

lim

x→a

(f(x)−f(a))/((x−a)2)=-1；
当x→a时，（x-a）²＞0
因此存在ɛ，当x∈（a-ɛ）∪（a+ɛ）时：f（x）-f（a）＜0
即：f（x）＜f（a）．
因此f（a）是极大值．
故本题选：B．