设函数f（u）在（0，+∞）内具有二阶导数，且z＝f(x2+y2)满足等式∂2z∂x2+∂2z∂y2＝0．（Ⅰ）验证f″（u）+f′(u)u=0．（Ⅱ）若f（1）=0，f′（1）=1，求函数f（u）的表达式．

Question

设函数f（u）在（0，+∞）内具有二阶导数，且z＝f(√(x2+y2))满足等式(∂2z)/(∂x2)+(∂2z)/(∂y2)＝0．
（Ⅰ）验证f″（u）+(f′(u))/(u)=0．
（Ⅱ）若f（1）=0，f′（1）=1，求函数f（u）的表达式．

Answer 1

证：（I）∵z＝f(√(x2+y2))，令u＝√(x2+y2)
∴z_x′=(dz)/(du)•(∂u)/(∂x)＝f′(u)(x)/(√(x2+y2))
z_y′=(dz)/(du)•(∂u)/(∂y)＝f′(u)(y)/(√(x2+y2))
∴zxx＝f″(u)•(x2)/(x2+y2)+f′(u)(y2)/((x2+y2)(3)/(2))
zyy＝f″(u)•(x2)/(y2+y2)+f′(u)(x2)/((x2+y2)(3)/(2))
代入(∂2z)/(∂x2)+(∂2z)/(∂y2)＝0，得：
f″(u)+(f′(u))/(u)＝0
（II）由于f″(u)+(f′(u))/(u)＝0
令f'（u）=p，则
(dp)/(du)＝−(p)/(u)
即：(dp)/(p)＝−(du)/(u)
两边积分得：ln|p|=-ln|u|+C₁
∴p＝(C)/(u)，其中C＝±eC1
即f′(u)＝(C)/(u)
由f'（1）=1，得C=1
∴f′(u)＝(1)/(u)
∴f（u）=ln|u|+C₂
又由f（1）=0，得C₂=0
∴f（u）=ln|u|