有关特征值的证明问题.设A、B、C都是n阶矩阵,A、B各有n个不同的特征值,又f(λ)是A的特征多项式,且f(B)为可逆矩阵,求证M=(AC)有2n个不同的特征值.(0B)设A、B、C都是n阶矩阵，A、B各有n个不同

Question

有关特征值的证明问题.
设A、B、C都是n阶矩阵,A、B各有n个不同的特征值,又f(λ)是A的特征多项式,且f(B)为可逆矩阵,求证M=( A C)有2n个不同的特征值.
( 0 B )
设A、B、C都是n阶矩阵，A、B各有n个不同的特征值，又f(λ)是A的特征多项式，且f(B)为可逆矩阵，求证
M=( A C )
( 0 B )
有2n个不同的特征值。
上面格式打得不好。

Answer 1

Proof：根据M的结构,可知M的特征值由A和B的特征值组成.因为B无重特征值,所以可以对角化,P^-1 B P=D
f(B)=P f(D) P^-1
设u1,u2,...,un是A的特征值,于是f(x)=(x-u1)(x-u2)...(x-un)
f(B)可逆,所以|f(B)|=|f(D)|=|D-u1*I||D-u2*I|...|D-u2*I| =\= 0
所以每个|D-ui*I|=\=0 所以D的元素和ui没有重复的
所以A和B的特征值没有重复的,所以M有2n个不同特征值.