求f(x)=|x(x-1)|(x-2)^2的拐点个数

Question

求f(x)=|x(x-1)|(x-2)^2的拐点个数

Answer 1

x≥1时,f(x)=x(x-1)(x-2)²=x^4-5x³+8x²-4x
得f''(x)=12x²-30x+16,令f''(x)=0,可知
在x≥1时,f''(x)=0只有一个实根,且在该实根
左右两旁,f''(x)的正负号不同,∴该点是一个拐点
0得f''(x)=-12x²+30x-16,同样可知在0f''(x)=0有唯一实根,且该实根两旁,f''(x)的正负号不同
∴该实根也是一个观点
又f''(1+)=-2,f''(1-)=2,∴x=1也是拐点
x<0时,f(x)=x^4-5x³+8x²-4x,此时f''(x)=12x²-30x+16=0
在x<0没有实根,∴x<0时没有拐点
而f''(0+)=-16,f''(0-)=16,∴x=0也是拐点
综上可知f(x)一共有4个拐点