求拐点的个数.曲线y=(x-1)^2(x-3)^2的拐点的个数为2个.书上给出的解释因本题的曲线是对称于直线x=2的,故它或没有拐点,或有2个拐点.y`=4(x-1)(x-2)(x-3),对y`用罗尔定理,y``有两个零点,从而曲线

Question

求拐点的个数.
曲线y=(x-1)^2(x-3)^2的拐点的个数为2个.
【书上给出的解释】
因本题的曲线是对称于直线x=2的,故它或没有拐点,或有2个拐点.
y`=4(x-1)(x-2)(x-3),对y`用罗尔定理,y``有两个零点,从而曲线有两个拐点.
【我的问题】
1、怎么看出来曲线对称于x=2的?
2、为什么曲线对称于x=2,就没有拐点或者有两个拐点?
3、当x=x0时y``=0,x=x0是不是就一定是拐点,是不是另外要判断在x=x0的左邻域和右邻域y``的正负?

Answer 1

1. y=[(x-1)(x-3)]²这样就看出来了吧
2.这是一个四次函数,最多2个拐点,它又是关于x=2对称,所以只有0或2个
3.不一定,要另外判断,这和y'(x0)=0,x0是不是判断极值点类似