设是群,对任意a属于G,令H={y|y*a=a,y属于G},证明是的子群希望高手能能讲解一下证明过程~~改成H={y|y*a=a*y,y属于G}

Question

设是群,对任意a属于G,令H={y|y*a=a,y属于G},证明是的子群
希望高手能能讲解一下证明过程~~
改成H={y|y*a=a*y,y属于G}

Answer 1

题写错了,应该是H={y|y*a=a*y,y属于G},否则由y*a=a得y=e,故H={e},此时是的平凡子群,这题就太简单了.
原题改为H={y|y*a=ay,y属于G},
证明 由e*a=a*e可知e属于H,H非空,设x,y属于H,则x*a=a*x,y*a=a*y,故
y^-1*a=a*y^-1,于是得
(x*y^-1)*a=x*(y^-1*a)=x*(a*y^-1)=(x*a)*y^-1=a*(x*y^-1)
x*y^-1属于H,由子群判定定理可知是的子群.