12.设（G,*）是群,a为G中元素,若对于G中任意元素x,都有a*x=x*a,由这样的元素a构成的集合记作S,证明（S,*）是（G,*）的子群.

Question

12.设 （G,*）是群,a为G中元素,若对于G中任意元素x,都有a*x=x*a,由这样的元素a构成的集合记作S,证明 （S,*）是 （G,*）的子群.

Answer 1

设 a,b 属于 S
则 若对于G中任意元素x,都有a*x=x*a,b*x=x*b
所以 abx = axb = xab
所以 ab 属于 S.
又由 ax = xa
等式两边左乘 a^-1,右乘a^-1
得 xa^-1 = a^-1x
所以 a^-1 属于 S
所以 S 是G 的子群