（2013•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AE=6，sin∠CFD=35，求EB的长．

Question

（2013•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AE=6，sin∠CFD=(3)/(5)，求EB的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B
∴∠ODC=∠B
∴OD∥AB
∴∠ODF=∠AEF
∵EF⊥AB
∴∠ODF=∠AEF=90°
∴OD⊥EF
∵OD是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；

（2）由（1）知，OD∥AB，OD⊥EF．
在Rt△AEF中，sin∠CFD=(AE)/(AF)=(3)/(5)，AE=6，
则AF=10．
∵OD∥AB，
∴(OF)/(AF)=(OD)/(AE)．
设⊙O的半径为r，
∴(10−r)/(10)=(r)/(6)，
解得，r=(15)/(4)．
∴AB=AC=2r=(15)/(2)，
∴EB=AB-AE=(15)/(2)-6=(3)/(2)．