函数f（x）=x2-4x-4在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t），（1）当t=1时，求g（1）的值；（2）求g（t）的解析式，并求g（t）最小值．

Question

函数f（x）=x²-4x-4在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t），
（1）当t=1时，求g（1）的值；
（2）求g（t）的解析式，并求g（t）最小值．

Answer 1

函数f（x）=x²-4x-4图象开口向上，对称轴为直线x=2，
（1）当t=1时，区间[t，t+1]为[1，2]，
函数在[1，2]上单调递减，最小值g（1）=f（2）=-8．
（2）当t+1≤2即t≤1时，函数在[t，t+1]单调递减，g（t）=f（t+1）=（t+1）²-4（t+1）-4=t²-2t-7；
当t＜2≤t+1即1＜t＜2时，函数在对称轴x=2处取得最小值，g（t）=f（2）=-8，
当t≥2时，函数在[t，t+1]单调递增，g（t）=f（t）=t²-4t-4，
综上g（t）的解析式为
g（t）=t

t2−2t−7   ，t≤1

−8           ，1＜t＜2

t2−2t−4，  t≥2

当t≤1时，g（t）=t²-2t-7，为二次函数，图象开口向上，在t=-(−2)/(2×1)=1时取得最小值g（1）=-8
当1＜t＜2时，g（t）=-8，
当t≥2时，g（t）=t²-2t-4，为二次函数，图象开口向上，对称轴直线为t=-(−2)/(2×1)=1，函数单调递增，t=2时取得最小值g（2）=-4
综上可述，t∈R时，g（t）最小值为-8