在数列an中,a1=2,且对任意自然数n,an与a(n+1)是关于x的方程x^2-kx(1/3)^n=0的两个实根,则an的前15项中所有奇数项和为:答案3-3^(-7)

Question

在数列an中,a1=2,且对任意自然数n,an与a(n+1)是关于x的方程
x^2-kx(1/3)^n=0的两个实根,则an的前15项中所有奇数项和为:
答案3-3^(-7)

Answer 1

[注：你所给的方程有误,可能是x^2-kx+(1/3)^n=0.就按此方程来做.由题设及韦达定理可得,an*a(n+1)=(1/3)^n.（n=1,2,3,).===>a(n+1)*a(n+2)=(1/3)^(n+1).两式相除可得a(n+2)/an=1/3.(n=1,2,3,...)===>该数列的奇（偶）数项是公比为1/3的等比数列,===》a1=2=2*(1/3)^(1-1)=2*(1/3)^0,a3=2/3=2*(1/3)^(2-1)=2*(1/3)^1,a5=2/9=2*(1/3)^(3-1)=2*(1/3)^2,a7=2*/27=2*(1/3)^(4-1)=2*(1/3)^3,a13=2*(1/3)^(7-1)=2*(1/3)^6,a15=2*(1/3)^(8-1)=2*(1/3)^7.====>a1+a3+a5+...+a13+a15=2{1+(1/3)^1+(1/3)^2+...+(1/3)^7]=2*[1-(1/3)^8]/[1-(1/3)]=3[1-(1/3)^8]=3-3^(-7).