已知在关于x的分式方程k-1x-1=2①和一元二次方程（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+

Question

已知在关于x的分式方程(k-1)/(x-1)=2①和一元二次方程（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x₁、x₂，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x₁、x₂，满足x₁（x₁-k）+x₂（x₂-k）=（x₁-k）（x₂-k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．

Answer 1

（1）∵关于x的分式方程(k-1)/(x-1)=2的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=(k+1)/(2)≥0，且(k+1)/(2)≠1，
∴解得k≥-1且k≠1，
又∵一元二次方程（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0中2-k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥-1且k≠1且k≠2；

（2）∵一元二次方程（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0有两个整数根x₁、x₂，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：-mx²+3mx+（1-m）=0，即：mx²-3mx+m-1=0，
∴△>0，即△=（-3m）²-4m（m-1），且m≠0，
∴△=9m²-4m（m-1）=m（5m+4）>0，
则m>0或m<-(4)/(5)；
∵x₁、x₂是整数，k、m都是整数，
∵x₁+x₂=3，x₁•x₂=(m-1)/(m)=1-(1)/(m)，
∴1-(1)/(m)为整数，
∴m=1或-1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠-1
∴把m=1代入方程mx²-3mx+m-1=0得：x²-3x+1-1=0，
x²-3x=0，
x（x-3）=0，
x₁=0，x₂=3；

（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥-1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=-1，
（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0且方程有两个实数根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-(3m)/(2-k)=(3m)/(k-2)=-m，x₁x₂=((3-k)n)/(2-k)=(4)/(3)n，
x₁（x₁-k）+x₂（x₂-k）=（x₁-k）（x₂-k），
x₁²-x₁k+x₂²-x₂k=x₁x₂-x₁k-x₂k+k²，
x₁²+x₂²═x₁x₂+k²，
（x₁+x₂）²-2x₁x₂-x₁x₂=k²，
（x₁+x₂）²-3x₁x₂=k²，
（-m）²-3×(4)/(3)n=（-1）²，
m²-4n=1，n=(m2-1)/(4)①，
△=（3m）²-4（2-k）（3-k）n=9m²-48n≥0②，
把①代入②得：9m²-48×(m2-1)/(4)≥0，
m²≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立．