已知奇函数f（x）的定义域为[-1，1]，当x∈[-1，0）时，f（x）=-(12)x．（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；（2）若x∈（0，1]，14f2（x）-λ2f（x）+1的最小值为-2，求实数λ的值．

Question

已知奇函数f（x）的定义域为[-1，1]，当x∈[-1，0）时，f（x）=-((1)/(2))x．
（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若x∈（0，1]，(1)/(4)f²（x）-(λ)/(2)f（x）+1的最小值为-2，求实数λ的值．

Answer 1

（1）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0）时，所以f（-x）=-((1)/(2))−x=-2^x．
又因为f（x）为奇函数，所以有f（-x）=-f（x），
所以当x∈（0，1]时，f（x）=-f（-x）=2^x，所以f（x）∈（1，2]，
又f（0）=0．
所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．
（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，
所以(1)/(2)f（x）∈（(1)/(2)，1]．
令t=(1)/(2)f（x），则 (1)/(2)＜t≤1，
g（t）=(1)/(4)f²（x）-(λ)/(2)f（x）+1=t²-λt+1=(t−(λ)/(2))2+1-(λ2)/(4)，
①当(λ)/(2)≤(1)/(2)，即λ≤1时，g（t）＞g（(1)/(2)），无最小值，
②当(1)/(2)＜(λ)/(2)≤1，即1＜λ≤2时，g（t）_min=g（(λ)/(2)）=1-(λ2)/(4)=-2，
解得λ=±2√(3) （舍去）．
③当(λ)/(2)＞1，即λ＞2时，g（t）_min=g（1）=-2，解得λ=4，
综上所述，λ=4．