已知F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是(2，+∞)(2，+∞)．

Question

已知F₁、F₂分别为双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F₂到直线AF₁的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是

(√(2)，+∞)

(√(2)，+∞)

．

Answer 1

设A点坐标为（m，n），则直线AF₁的方程为 （m+c）y-n（x+c）=0，
右焦点F₂（c，0）到该直线的距离(|n(c+c)|)/(√(m2+n2))=2a，
即(c2n2)/(m2+n2)=a2，
所以e²=(c2)/(a2)=1+（(m)/(n)）2
因为A是双曲线上的点，
所以(m2)/(a2)-(n2)/(b2)=1，
所以（(m)/(n)）2=(a2)/(b2)+(a2)/(n2)，
所以e²=1+(a2)/(b2)+(a2)/(n2)＞1+(a2)/(b2)=1+(a2)/(c2−a2)=1+(1)/(e2−1)
所以e²-1＞1，
即e＞√(2)．
故答案为：(√(2)，+∞)．