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已知双曲线，Q为右支上一点，F为右焦点，O为坐标原点，△OFQ的面积为，．（1）设，求∠OFQ正切值的取值范围；（2）若，求当取得最小值时，求此双曲线的方程．
题目详情
已知双曲线
，Q为右支上一点，F为右焦点，O为坐标原点，△OFQ的面积为
，
．
（1）设
，求∠OFQ正切值的取值范围；
（2）若
，求当 
取得最小值时，求此双曲线的方程．
，Q为右支上一点，F为右焦点，O为坐标原点，△OFQ的面积为，．（1）设
，求∠OFQ正切值的取值范围；（2）若
，求当 取得最小值时，求此双曲线的方程．▼优质解答
答案和解析
（1）利用△OFQ的面积为
，
，可得∠OFQ正切值，根据m的范围，即可确定∠OFQ正切值的取值范围；
（2）先确定Q的坐标，再计算
的最小值，从而可求双曲线的方程．
【解析】
（1）设∠OFQ=θ，则
，∴
∵
∴-4≤tanθ≤-1
（2）设所求的双曲线方程为
，∴
∴
，∴
又∵
，∴
∴
，
∴
．
当且仅当c=4时，
最小，此时Q的坐标是
或
∴
，∴
，
∴所求方程为
．
，，可得∠OFQ正切值，根据m的范围，即可确定∠OFQ正切值的取值范围；（2）先确定Q的坐标，再计算
的最小值，从而可求双曲线的方程．【解析】
（1）设∠OFQ=θ，则
，∴∵
∴-4≤tanθ≤-1
（2）设所求的双曲线方程为
，∴∴
，∴又∵
，∴∴
，∴
．当且仅当c=4时，
最小，此时Q的坐标是或∴
，∴，∴所求方程为
．
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