已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a大于0,b大于0）的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若此双曲线的离心率为e,且PF1的绝对值＝e×(PF1绝对值),则e的最大值为1+根号2,

Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a大于0,b大于0）的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若此双曲线的离心率为e,且PF1的绝对值＝e×(PF1绝对值),则e的最大值为1+根号2,

Answer 1

因该是 |PF1|＝e×|PF2|
双曲线右支上点P满足
|PF1|-|PF2|=2a
∴|PF1|=|PF2|+2a
∴|PF2|+2a＝e×|PF2|
==> (e-1)|PF2|=2a
==> 2a/(e-1)=|PF2|
又双曲线右支上点P满足
|PF2|≥c-a
∴2a/(e-1)=|PF2|≥c-a
∴2a/(e-1)≥c-a
2a≥(e-1)(c-a)
两边同时除以a
2≥(e-1)(e-1)
∴e-1≤√2
∴1