另外,存在一个矩阵左逆而不右逆吗?如果证明左逆必右逆思路是什么呢?

Question

另外,存在一个矩阵左逆而不右逆吗?如果证明左逆必右逆思路是什么呢?

Answer 1

如果是方阵的话左逆和右逆一定是同时存在或同时不存在的,但是这个需要证明.
（对于不方的矩阵而言单侧逆最多只有一个存在,此时矩阵是满秩的,不过这个不是重点）
本质上讲方阵是有限维空间上的线性变换,所以才会出现如此好的性质,这个决不是仅仅从AB=E出发通过算子的结合律就能证明的,比如说l^2空间上的左移算子和右移算子都只是单侧可逆,所以要证明矩阵的双侧可逆一定要回到矩阵乘法本身的代数性质.
下面这段话就是对于矩阵单侧可逆必定双侧可逆的证明,你可以转给刚才向你提问的那个人,不要误导了别人.
首先,行列式乘积定理|AB|=|A|*|B|的证明不依赖于你想要证明的结论,它可以通过初等变换来证明.
然后就是一个观念的问题,满足|A|≠0的矩阵A称为非奇异矩阵,而关于X的方程AX=XA=E有解的矩阵A称为可逆矩阵,这两者的等价性没有验证之前最好不要混淆.
利用Cramer法则可以证明非奇异矩阵必可逆,因为此时可以构造出一个解X=adj(A)/|A|.
再利用行列式乘积定理可以证明可逆矩阵必定非奇异.
准备工作到此为止.回到你的问题,如果AB=E,那么由|A||B|=1得A非奇异,因此必定可逆,取A的逆X,那么X=XE=XAB=B,从而BA=XA=E.
结合律可以用来证明如果A的双侧逆存在则必定唯一,但不足以从一侧直接推到另一侧.