两方阵相加再求逆的表达式问题两个方阵相加再求逆化为其中一个方阵的逆阵和一个新方阵的和,求该新方阵的表达式.即inv(A+B)=inv(A)+C,要求C的表达式,其中A,B,C为方阵,inv表示求逆.

Question

两方阵相加再求逆的表达式问题
两个方阵相加再求逆化为其中一个方阵的逆阵和一个新方阵的和,求该新方阵的表达式.
即inv(A+B)=inv(A)+C,要求C的表达式,其中A,B,C为方阵,inv表示求逆.

Answer 1

首先再两边都乘以（A+B)得：E=(A+B)*(inv(A)+C)
其次展开得：E=A*inv(A)+B*inv(A)+AC+BC
即：E=E+B*inv(A)+(A+B)C
进而得：-B*inv(A)=(A+B)C
左乘（A+B）的逆：-inv(A+B)*B*inv(A)=C
将B带入括号内得：-inv(inv(B)*A+E)*inv(A)=C
再将inv(A)带入括号内得：-inv(A*inv(B)*A+A)=C