如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．①求证：CE∥BF；②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：3，求△BCD的面积（注：根据圆

Question

如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；  
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：√(3)，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．

Answer 1

①证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：
∵BE=EF，
∴∠F=∠EBF；
∵∠AEB=∠EBF+∠F，
∴∠F=(1)/(2)∠AEB，
∵C是

AB

的中点，∴

AC

=

BC

，
∴∠AEC=∠BEC，
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，
∴∠AEC=(1)/(2)∠AEB，
∴∠AEC=∠F，
∴CE∥BF；
② ∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴(AD)/(CB)=(AE)/(CE)，即(AD)/(CB)=(3)/(√(5))，
∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，
∴△CBE∽△CDB，
∴(BD)/(CB)=(BE)/(CE)，即(2)/(CB)=(1)/(√(5))，
∴CB=2√(5)，
∴AD=6，
∴AB=8，
∵点C为劣弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AG=BG=(1)/(2)AB=4，
∴CG=√(CB2-BG2)=2，
∴△BCD的面积=(1)/(2)BD•CG=(1)/(2)×2×2=2．