定积分证明证明：定积分f(x^2+a^2/x^2)dx/x积分限是1到a等于定积分f(x+a^2/x)dx/x积分限是1到a

Question

定积分证明
证明：
定积分 f(x^2+a^2/x^2)dx/x 积分限是1到a 等于
定积分 f(x+a^2/x)dx/x 积分限是1到a

Answer 1

dx/x为万能凑幂因子.
原式=1/2∫f(x^2+a^2/x^2)dx^2/x^2,1→a
令u=x^2,=1/2∫f(u+a^2/u)du/u,1→a^2,
=1/2(∫(1→a)+∫(a→a^2))f(u+a^2/u)du/u
再对第二个积分∫(a→a^2)f(u+a^2/u)du/u
令u=a^2/t ,=∫(a→1)(t+a^2/t)(-dt/t )
=∫(1→a)(t+a^2/t)(dt/t )
所以两个分积分相等,得证.