定积分证明题设f(x)在[-a,a]上连续,具有二阶连续导数,且f(0)=0证明：在[-a,a]上至少存在一点n,使得a^3f''(n)=3∫f(x)dx（积分从-a到a）

Question

定积分证明题
设f(x)在[-a,a]上连续,具有二阶连续导数,且f(0)=0
证明：在[-a,a]上至少存在一点n,使得a^3f''(n)=3∫f(x)dx（积分从-a到a）

Answer 1

根据泰勒中值定理,在x=0处把f(x)展开,得f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(n)x^2/2,其中n属于[-a,a].由于f(0)=0,两边在区间[-a,a]积分得∫f(x)dx=∫f'(0)x+∫f''(n)x^2/2,其中∫f'(0)x是关于x的奇函数,而区间关于原点对称,所以∫f'(0)x=0.所以∫f(x)dx=∫f''(n)x^2/2,积分得a^3f''(n)=3∫f(x)dx.