设P是△ABC内一点，△ABC三边上的高分别为hA、hB、hC，P到三边的距离依次为la、lb、lc，则有lahA+lbhB+lchC=1；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是hA、hB、hC、hD，P到

Question

设P是△ABC内一点，△ABC三边上的高分别为h_A、h_B、h_C，P到三边的距离依次为l_a、l_b、l_c，则有(la)/(hA)+(lb)/(hB)+(lc)/(hC)=1；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是h_A、h_B、h_C、h_D，P到这四个面的距离依次是l_a、l_b、l_c、l_d，则有

(la)/(hA)+(lb)/(hB)+(lc)/(hC)+(ld)/(hD)=1

(la)/(hA)+(lb)/(hB)+(lc)/(hC)+(ld)/(hD)=1

．

Answer 1

如图，连结PA、PB、PC，可得
S_△ABP+S_△BCP+S_△CAP=S_△ABC，
即(1)/(2)AB×l_c+(1)/(2)BC×l_a+(1)/(2)CA×l_b=S_△ABC，…（1）
∵S_△ABC=(1)/(2)AB×h_C=(1)/(2)BC×h_A=(1)/(2)CA×h_B
∴在（1）式的两边都除以S_△ABC，得(lc)/(hC)+(la)/(hA)+(lb)/(hB)=1
即(la)/(hA)+(lb)/(hB)+(lc)/(hC)=1，即平面内的结论成立
当P为四面体ABCD内一点时，V_P-BCD+V_P-CDA+V_P-ABD+V_P-ABC=V_D-ABC，
两边都除以V_D-ABC，得(VP−BCD)/(VD−ABC)+(VP−CDA)/(VD−ABC)+(VP−ABD)/(VD−ABC)+(VP−ABC)/(VD−ABC)=1
类似平面中结论证明的方法，可得(la)/(hA)+

l

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