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如图,是孝感市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场,圆心为O,半径为100m,其与城站路一边所在直线l相切于点M,A为上半圆弧上一点,过点A作l的垂线,垂足为B.市园

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如图,是孝感市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场,圆心为O,半径为100m,其与城站路一边所在直线l相切于点M,A为上半圆弧上一点,过点A作l的垂线,垂足为B.市园林局计划在△ABM内进行绿化,设△ABM的面积为S(单位:m2).
(1)以△AON=θ(rad)为自变量,将S表示成θ的函数;
(2)为使绿化的面积最大,试确定此时点A的位置及其最大面积.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题知:BM=AOsinθ=100sinθ,AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ    θ∈(0,π)
则S=
1
2
MB•AB=
1
2
×100sinθ×(100+100cosθ)
=5000sinθ(1+cosθ)
(2)s′=5000(2cos2θ+cosθ-1)=5000(2cosθ-1)(cosθ+1)
令S′=0得cosθ=
1
2
,cosθ=-1(舍去),此时θ=
π
3

当θ∈(0,
π
3
)时,S′>0;
∴当θ=
π
3
时,S取得极大值,即S最大值=3750
3
(m2)
答:当AO与ON成60°角时,绿化面积最大,最大面积为3750
3
m2
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