如图，扇形OAB的圆心角为90°，以OB为直径的半圆O1与半圆O2外切，且⊙O1与⊙O2都与扇形弧相内切．（1）求半圆O1与半圆O2的半径比；（2）若OB=12，求图中阴影部分的面积．

Question

如图，扇形OAB的圆心角为90°，以OB为直径的半圆O₁与半圆O₂外切，且⊙O₁与⊙O₂都与扇形弧相内切．

（1）求半圆O₁与半圆O₂的半径比；
（2）若OB=12，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）连接O₁O₂，设半圆O₁与半圆O₂的半径分别为：x，y，
∵扇形OAB的圆心角为90°，以OB为直径的半圆O₁与半圆O₂外切，且⊙O₁与⊙O₂都与扇形弧相内切，
∴OO₁=x，OO₂=2x-y，O₁O₂=x+y，
∴x²+（2x-y）²=（x+y）²，
整理得出：4x=6y，
∴(x)/(y)=(6)/(4)=(3)/(2)；
（2）∵OB=12，
∴O₁B=6，AO₂=4，
∴图中阴影部分的面积为：S_扇形AOB-S_半圆O2-S_半圆O1=(90π×122)/(360)-(π×42)/(2)-(π×62)/(2)=10π．