如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O1的圆心O1在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O2的圆心O2在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O1与半圆O2相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y．

Question

如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O₁的圆心O₁在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O₂的圆心O₂在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O₁与半圆O₂相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y．
（1）试建立以x为自变量的函数y的解析式；
（2）求函数y的最小值．

Answer 1

（1）设两圆半径分别为R、r，
y＝(1)/(2)π(R2+r2)，
x=r+R，
通过变形把R²和r²用“x=R+r”的代数式表示，作基本辅助线，如图，半径分别为r、R的圆1、圆2外切于C，连接O₁O₂．
y=(1)/(2)π  (R2+ r2)=(1)/(2)π[(R+r)2−2Rr]，
且有（R+r）²=（1-R）²+（1-r）²，化简得：r+R+Rr=1，
所以：y=(1)/(2)π{(R+r)2−2[1−(R+r)] }＝(π)/(2)(x2+2x−2)，
所以建立的以x为自变量的函数y的解析式为：y=(1)/(2)π{(R+r)2−2[1−(R+r)] }＝(π)/(2)(x2+2x−2)，

（2）∵（√(R)-√(r)）²≥0，
∴R+r≥2√(Rr)，
∴((R+r)2)/(4)≥Rr，Rr=1-（R+r），
∴（R+r）²+4（R+r）-4≥0，
又∵R+r≥0，
∴R+r≥2√(2)-2，即x≥2

作业帮用户 2017-09-30

问题解析

（1）想要建立起以x为自变量的函数y的解析式，则必须要找出中间的等量关系，利用这个等量关系，把y用x表示出来．
（2）根据x的取值范围，利用二次函数最值的求法即可解出此问．

名师点评

本题考点：

二次函数的应用；相切两圆的性质．

考点点评：

本题看似考查几何，实际考查的还是二次函数问题，以及二次函数的最值求法．

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