已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（35，65）（1）求直线12x-5y-1=0被圆C截得的弦长（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点（i）

Question

已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（(3)/(5)，(6)/(5)）
（1）求直线12x-5y-1=0被圆C截得的弦长
（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点
（i）求证：(1)/(x1)+(1)/(x2)为定值
（ii）若|PN|²+|QN|²=24，求直线L的方程．

Answer 1

（1）由题意，C（a，0），z\则k_CM=((6)/(5))/((3)/(5)-a)，
∴((6)/(5))/((3)/(5)-a)•（-(4)/(3)）=-1，∴a=-1，
∴C（-1，0），|CM|=2，即r=2，
∴圆C的标准方程为（x+1）²+y²=4．
圆心到直线12x-5y-1=0的距离为1，∴所求弦长为2√(4-1)=2√(3)；
（2）设直线l的方程为y=kx（k>0），与圆的方程联立，可得（1+k²）x²+2x-3=0，
∴x₁+x₂=-(2)/(1+k2)，x₁x₂=-(3)/(1+k2)．
（i）(1)/(x1)+(1)/(x2)=(x1+x2)/(x1x2)=(2)/(3)为定值；
（ii）|PN|²+|QN|²=(x1-2)2+(y1-1)2+(x2-2)2+(y2-1)2
=(1+k2)(x1+x2)2-2(1+k2)x1x2-（4+2k）（x₁+x₂）+10=(12+4k)/(1+k2)+16=24，
∴k=1或-(1)/(2)，
∴直线L的方程为y=x或y=-(1)/(2)x．