月考复习2,9.已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为?

Question

月考复习2,9.已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,
双曲线x²-y²=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为?

Answer 1

椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
离心率e=c/a=√3/2,
那么b/a=1/2,a=2b
椭圆方程为：x^2/4+y^2=b^2
双曲线x2-y2=1的渐近线为y=±x,
y=±x与椭圆的4个交点为正方形的顶点,
其面积为16,那么边长为4,则
第一象限的交点为(2,2)
将(2,2)代入椭圆方程：
b^2=4/4+4=5
∴椭圆C的方程为x^2/20+y^2/5=1