如图，已知PA切⊙O于A，∠APO=30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算HC−HBBC的值．

Question

如图，已知PA切⊙O于A，∠APO=30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算(HC−HB)/(BC)的值．

Answer 1

连接OB、OC、OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
而AH⊥OP，
∴∠PHA=90°，
∴Rt△PAH∽Rt△POA，
∴PA：PO=PH：PA，即PA²=PH•PO，
又∵PBC为⊙O的割线，
∴PA²=PB•PC，
∴PH•PO=PB•PC，
∴△PBH∽△POC，
∴∠PBH=∠POC，(BH)/(OC)=(PB)/(PO)，即(BH)/(PB)=(OC)/(PO)①，
∴点H、B、C、O四点共圆，
∴∠HOB=∠HCB，
∴△PBO∽△PHC，
∴(OB)/(HC)=(PO)/(PC)，即(OB)/(PO)=(HC)/(PC)②，
由①②得(BH)/(PB)=(HC)/(PC)，即(HC)/(BH)=(PC)/(PB)，
∴(HC−BH)/(BH)=(PC−PB)/(PB)=(BC)/(PB)，
∴(HC−HB)/(BC)=(BH)/(PB)，
∴(HC−HB)/(BC)=(OC)/(PO)=(OA)/(OP)，
∵在Rt△OAP中，∠APO=30°，则OP=2OA，
∴(HC−HB)/(BC)=(1)/(2)．