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（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=22，求DF
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（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=2
| 2 |
▼优质解答
答案和解析
（1）证明：∵DC2=CE•CA，
∴
=
，
△CDE∽△CAD，
∴∠CDB=∠DAC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴BC=CD；
（2）如图，连接OC，
∵BC=CD，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AO=CO，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∴
=
，
∵PB=OB，CD=2
，
∴
=
∴PC=4
又∵PC•PD=PB•PA
∴4
•（4
+2
）=OB•3OB
∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，
在Rt△ACB中，
AC=
∴
| DC |
| CE |
| CA |
| DC |
△CDE∽△CAD，
∴∠CDB=∠DAC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴BC=CD；
（2）如图，连接OC，
∵BC=CD，
∴∠DAC=∠CAB，
又∵AO=CO，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∴
| PC |
| PD |
| PO |
| PA |
∵PB=OB，CD=2
| 2 |
∴
| PC | ||
PC+2
|
| 2 |
| 3 |
∴PC=4
| 2 |
又∵PC•PD=PB•PA
∴4
| 2 |
| 2 |
| 2 |
∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，
在Rt△ACB中，
AC=
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