如图1，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，交BC于点K，过CB延长线上一点E作∠EAB=∠ACE．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）如图2，连BD，若∠E=∠DAB，BKBD=35，DK=25，求⊙O的半径．

Question

如图1，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，交BC于点K，过CB延长线上一点E作∠EAB=∠ACE．

（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）如图2，连BD，若∠E=∠DAB，(BK)/(BD)=(3)/(5)，DK=2√(5)，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接OA、OD．
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD．
∴

CD

=

BD

．
又∵∠EAB=∠C，∠CKD=∠C+∠CAD，
∴∠CKD=∠KAE
又∵

CD

=

BD

，
∴由垂径定理得OD⊥BC，
∴∠CKD+∠ODA=90°，
又OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD+∠KAE=90°，即OA⊥AE．
∵OA是半径，
∴AE为⊙O的切线；
（2）如图2，连接CD、OC、OD
∵∠E=∠DAB，
∴∠KBA=∠KAE=∠CDK，由（1）证得了∠CKD=∠KAE，
∴∠CKD=∠CDK，
∴CD=CK
∴设BK=3t，则BD=CD=CK=5t，由垂径定理得BH=CH=4t，
∴HK=t，
在Rt△DHC中，根据勾股定理可得DH=3t
在Rt△DHK中，根据勾股定理得DH²+HK²=DK²，
即（3t）²+t²=（2√(5)）²，
解得t=√(2)．
在Rt△OCH中，设OC=r，OH=r-3√(2)，CH=4√(2)，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3√(2)）²+（4√(2)）²=r²，解得r=(25)/(6)√(2)．