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如图,⊙O的直径为AB,⊙O1过点O,且与⊙O内切于点B.C为⊙O上的点,OC与⊙O1交于点D,且OD>CD.点E在OD上,且DC=DE,BE的延长线与⊙O1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.
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如图,⊙O的直径为AB,⊙O1过点O,且与⊙O内切于点B.C为⊙O上的点,OC与⊙O1交于点D,且OD>CD.点E在OD上,且DC=DE,BE的延长线与⊙O1交于点F,求证:△BOC∽△DO1F.


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答案和解析
连接DB.
∵⊙O1过点O,且与⊙O内切于点B.C
∴BO为⊙O1直径,
∴∠ODB=90°,
∵DC=DE,
∴BD垂直平分CE,
∴BC=EB,∠FBD=∠CBD,
∴∠BCE=∠BEC.
∵BO=CO,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OBC=∠BCE=∠BEC,
∴∠CBE=∠COB(三角形内角和定理),
∵∠FO1D=2∠FBD,
∴∠FO1D=∠FBC,
∵CO=BO,FO1=DO1,
∴
=
,
∴△BOC∽△DO1F.

∵⊙O1过点O,且与⊙O内切于点B.C
∴BO为⊙O1直径,
∴∠ODB=90°,
∵DC=DE,
∴BD垂直平分CE,
∴BC=EB,∠FBD=∠CBD,
∴∠BCE=∠BEC.
∵BO=CO,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OBC=∠BCE=∠BEC,
∴∠CBE=∠COB(三角形内角和定理),
∵∠FO1D=2∠FBD,
∴∠FO1D=∠FBC,
∵CO=BO,FO1=DO1,
∴
CO |
FO1 |
BO |
DO1 |
∴△BOC∽△DO1F.
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