（2011•扬州三模）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点，BC=BB1．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1．

Question

（2011•扬州三模）
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点，BC=BB₁．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）试在棱CC₁上找一点M，使MB⊥AB₁．

Answer 1

证明：（1）连接A₁B，交AB₁于点O，连接OD．
∵O、D分别是A₁B、BC的中点，
∴A₁C∥OD．             
∵A₁C⊄平面AB₁D，OD⊂平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．       
（2）M为CC₁的中点．           
证明如下：
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，∴四边形BCC₁B₁是正方形．
∵M为CC₁的中点，D是BC的中点，∴△B₁BD≌△BCM，
∴∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB．
又∵∠BB1D+∠BDB1＝(π)/(2)，∠CBM+∠BDB1＝(π)/(2)，∴BM⊥B₁D．                      
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C．
∵BM⊂平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BM．                                           
∵AD∩B₁D=D，
∴BM⊥平面AB₁D．
∵AB₁⊂平面AB₁D，
∴MB⊥AB₁．