设椭圆y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）两顶点A（-b，0），B（b，0），短轴长为4，焦距为2，过点P（4，0）的直线l与椭圆交于C，D两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段C，D中点Q的轨迹方程；（3）若直

Question

设椭圆(y2)/(a2)+(x2)/(b2)=1（a＞b＞0）两顶点A（-b，0），B（b，0），短轴长为4，焦距为2，过点P（4，0）的直线l与椭圆交于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段C，D中点Q的轨迹方程；
（3）若直线AC的斜率为1，在椭圆上求一点M，使三角形△MAC面积最大．

Answer 1

（1）∵短轴长为4，焦距为2，
∴b=2，c=1，
∴a=√(b2+c2)=√(5)，
∴椭圆方程为(y2)/(5)+(x2)/(4)＝1．…（3分）
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），则(y12)/(5)+(x12)/(4)＝1①，(y22)/(5)+(x22)/(4)＝1②
∵过点P（4，0）的直线l与椭圆交于C，D两点，线段C，D中点Q
∴①-②可得(y)/(x−4)•(y)/(x)=-(5)/(4)，即5x²-20x+4y²=0（0≤x≤1）．…（8分）
（3）设平行于AC的直线方程为y=x+m，代入椭圆方程得9x²+8mx+4m²-20=0．
△=64m²-4•9•（4m²-20）=0，解得m=-3，m=3（舍）．
把m=-3代入上式解得x=(4)/(3)，从而解得M（(4)/(3)，-(5)/(3)）．…（11分）
把y=x+2代入椭圆方程整理得9x²+16x-4=0，
∴|AC|=√(2)•

作业帮用户 2017-10-06 举报

问题解析

（1）利用短轴长为4，焦距为2，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）利用点差法，可求线段C，D中点Q的轨迹方程；
（3）设平行于AC的直线方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用△=0，求出m，即可在椭圆上求一点M，使三角形△MAC面积最大．

名师点评

本题考点：

轨迹方程；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：

本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．

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