在平面上给定一个△ABC，试判断平面上是否存在这样的点P，使得线段AP的中点为M，线段BM的中点为N，线段CN的中点为P？若存在，这样的点P有几个？若不存在，说明理由．

Question

在平面上给定一个△ABC，试判断平面上是否存在这样的点P，使得线段AP的中点为M，线段BM的中点为N，线段CN的中点为P？若存在，这样的点P有几个？若不存在，说明理由．

Answer 1

平面上是否存在这样的点P，只有一个．
作l∥AC，使l与AC的距离等于AC上高的(2)/(7)，
作m∥BC，使m与BC距离等于BC上高的(1)/(7)，交点为P，
AP中点M，连结BM，连结CP，延长交BM于N，
则点P为所求的点．

证明：如图，S₁=S₂=(1)/(7)S_△ABC=S₃，
S4＝S5+S6＝(1−(3)/(7))/(2)＝(2)/(7)，
S₂，S₃同底PC，它们在PC上的高相等，
S₂，S₃在PC上的高相等，也是S₅，S₆在PN上的高，
S5＝S6＝(1)/(7)，
S₅，S₆的高=P到BM的距离，故BM=MN，
S₅=S₃，故CP=PN．