对于非空实数集A，记A*={y|∀x∈A，y≥x}.设非空实数集合M、P满足：M⊆P，且若x＞1，则x∉P.现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有P*⊆M*；②对于任意给定符合题设条

Question

对于非空实数集A，记A^*={y|∀x∈A，y≥x}.设非空实数集合M、P满足：M⊆P，且若x＞1，则x∉P.现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有P^*⊆M^*；
②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M^*∩P≠∅；
③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M∩P^*=∅；
④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数a，使得对任意的b∈M^*，恒有a+b∈P^*，
其中正确的命题是（　　）
A. ①③
B. ③④
C. ①④
D. ②③

Answer 1

由于非空实数集A，记A^*={y|∀x∈A，y≥x}，则A^*中元素为大于A中所有值的数的集合．
①由于M⊆P，假设M中最大值为m，P最大值为p，那么p≥m．因此M^*表示大于m所有数集合，P^*表示所有大于p的数的集合．则P^*⊆M^*，①正确；
②令M=P={x|0＜x＜(1)/(2)}，则M^*={x|x≥(1)/(2)}，故M^*∩P=∅，②错误；
③令M={x|0＜x≤(1)/(2)}，P={x|0＜x＜(1)/(2)}，则P^*={x|x≥(1)/(2)}，故M∩P^*={x|x=(1)/(2)}≠∅，③错误；
④令a=0，则对任意的b∈M^*，恒有a+b∈P^*，④正确．
故答案为C．