在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于C的反称点，如图为点P及其关于C

Question

在平面直角坐标系xOy中， C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于 C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于 C的反称点，如图为点P及其关于 C的反称点P′的示意图．
特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．

（1）当 O的半径为1时．
①分别判断点M（2，1），N（(3)/(2)，0），T（1，√(3)）关于 O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
②点P在直线y=-x+2上，若点P关于 O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
（2） C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=-(√(3))/(3)x+2√(3)与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于 C的反称点P′在 C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

（1）当 O的半径为1时．
①点M（2，1）关于 O的反称点不存在；
N（(3)/(2)，0）关于 O的反称点存在，反称点N′（(1)/(2)，0）；
T（1，√(3)）关于 O的反称点存在，反称点T′（0，0）；

②∵OP≤2r=2，OP²≤4，设P（x，-x+2），
∴OP²=x²+（-x+2）²=2x²-4x+4≤4，
∴2x²-4x≤0，
x（x-2）≤0，
∴0≤x≤2．
当x=2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意；
当x=0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意；
∴0<x<2；

（2）∵直线y=-(√(3))/(3)x+2√(3)与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴A（6，0），B（0，2√(3)），
∴(OA)/(OB)=√(3)，
∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．
设C（x，0）．
①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r=2，
所以AC≤4，
C点横坐标x≥2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；
②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，
所以C点横坐标x≤8．
综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．