如图,在△ABC中,∠B=60°,角平分线AE、CF分别交BC、AB于E、F两点,AE、CF相交于点O.求证:AC=AF+CE..

Question

如图,在△ABC中,∠B=60°,角平分线AE、CF分别交BC、AB于E、F两点,AE、CF相交于点O.求证:AC=AF+CE..

Answer 1

证明：在AC边上取点G,使AG＝AF,连接OG
∵∠B＝60°
∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°
∵AE平分∠BAC,CF平分∠ACB
∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC/2,∠ACF＝∠BCF＝∠ACB/2
∴∠AOF＝∠COE＝∠CAE+∠ACF＝（∠BAC+∠ACB）/2＝120°/2＝60°
∴∠AOC＝180°-∠AOF＝180°-60°＝120°
∵AG＝AF
∴△AOG≌△AOF （SAS）
∴∠AOG＝∠AOF＝60°
∴∠COG＝∠AOC-∠AOG＝120°-60°＝60°
∴∠COG=∠COE
∵OC=OC
∴△COG≌△COE (ASA)
∴CG=CE
∵AC=AG+CG
∴AC=AF+CE