(1)用坐标法证明余弦定理：已知在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，求证：；(2)在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2b=a+c，求角B的最大值；(3)如果三个正实数a，b，c满

Question

(1)用坐标法证明余弦定理：已知在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，求证：；
(2)在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2b=a+c，求角B的最大值；
(3)如果三个正实数a，b，c满足，那么是否存在以a，b，c为三边的三角形？请说明理由．____

Answer 1

【分析】(1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则C(bcosA，bsinA)，B(c，0)，由此可证余弦定理；
\n(2)由已知的等式表示出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把表示的b代入利用基本不等式，即可求出cosB的最大值，由B的范围及余弦函数在此范围内为减函数，即可得到角B的最大值；
\n(3)用反证法证明，假设不存在以a，b，c为三边的三角形，即c+b<a，两边平方，再代入条件，引出矛盾，从而得证．

(1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
\n则C(bcosA，bsinA)，B(c，0)，
\n∴，
\n∴a²=(c-bcosA)²+(bsinA)²=b²+c²-2bccosA；
\n(2)由2b=a+c，得到b=，
\n则cosB==
\n=≥=.
\n由B∈(0，180°)，cosB为减函数，
\n∴内角B的最大值为60°．
\n(3)不妨假设不存在以a，b，c为三边的三角形，即 c+b<a，
\n∴c²+b²+2cb<b²+c²-2bccosA，
\n∴cosA<-1，
\n∵A∈(0，π)，
\n∴矛盾，
\n故假设不成立，即存在以a，b，c为三边的三角形

【点评】本题以三角形为载体，考查学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握余弦函数的图象和性质，是一道中档题．