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(1)用坐标法证明余弦定理:已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,求证:a2=b2+c2-2bccosA;(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2b=a+c,求角B的最大值;(3)如
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(1)用坐标法证明余弦定理:已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,求证:a2=b2+c2-2bccosA;
(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2b=a+c,求角B的最大值;
(3)如果三个正实数a,b,c满足a2=b2+c2-2bccosA,A∈(0,π),那么是否存在以a,b,c为三边的三角形?请说明理由.
(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2b=a+c,求角B的最大值;
(3)如果三个正实数a,b,c满足a2=b2+c2-2bccosA,A∈(0,π),那么是否存在以a,b,c为三边的三角形?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AB的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则C(bcosA,bsinA),B(c,0)
∴
=(c−bcosA,bsinA)
∴a2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA;
(2)由2b=a+c,得到b=
,
则cosB=
=
=
≥
=
,
由B∈(0,180°),cosB为减函数,
所以内角B的最大值为60°.
(3)不妨假设不存在以a,b,c为三边的三角形,即 c+b<a
∴c2+b2+2cb<b2+c2-2bccosA
∴cosA<-1
∵A∈(0,π),
∴矛盾
故假设不成立,即存在以a,b,c为三边的三角形
∴
BC |
∴a2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA;
(2)由2b=a+c,得到b=
a+c |
2 |
则cosB=
a2+c2−b2 |
2ac |
a2+c2−(
| ||
2ac |
=
3a2+3c2−2ac |
8ac |
4ac |
8ac |
1 |
2 |
由B∈(0,180°),cosB为减函数,
所以内角B的最大值为60°.
(3)不妨假设不存在以a,b,c为三边的三角形,即 c+b<a
∴c2+b2+2cb<b2+c2-2bccosA
∴cosA<-1
∵A∈(0,π),
∴矛盾
故假设不成立,即存在以a,b,c为三边的三角形
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