已知正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH⊥AF，垂足为H，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．（1）求证：AE=BG；（2）求证：GO•AG=CG•AO．

Question

已知正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH⊥AF，垂足为H，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．

（1）求证：AE=BG；
（2）求证：GO•AG=CG•AO．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=90°，
∵∠GAH+∠AGH=90°，∠OBG+∠AGH=90°，
∴∠GAH=∠OBG，
在△OAE和△OBG中，

∠OAE=∠OBG

OA=OB

∠AOE=∠BOG

，
∴△OAE≌△OBG（ASA），
∴AE=BG；
（2）∵△OAE≌△OBG，
∴OG=OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD
∴PC：AB=CG：AG，
∴PC：BC=CG：AG，
∵∠AHG=∠ABC=90°
∴∠FAB+∠ABH=∠CBP+∠ABH=90°，
∴∠FAB=∠CBP，
∵AF平分∠CAB，
∴∠FAC=∠FAB，
∴∠FAC=∠CBP，
∴Rt△OAE∽Rt△CBP，
∴OA：BC=OE：PC，
∵OE=OG，
即PC：BC=OG：OA，
∴OG：OA=CG：AG，
即GO•AG=CG•AO．