如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于P，交⊙O于D，E为AC的中点，EP交BD于F，⊙O的直径为d．下列结论：①EF⊥BD；②AC2+BD2的值为定值；③OE=12BD；④AB•CD=2S四边形ADBC其中正确的个数是（）A．1个

Question

如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于P，交⊙O于D，E为AC的中点，EP交BD于F，⊙O的直径为d．下列结论：
①EF⊥BD；②AC²+BD²的值为定值；③OE=(1)/(2)BD；④AB•CD=2S_{四边形ADBC}
其中正确的个数是（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

∵CD⊥AB，
∴∠APC=90°，
∵E为AC的中点，即PE为Rt△APC的斜边上的中线，
∴PE=CE，
∴∠ECP=∠EPC，
而∠EPC=∠DPF，∠CAP=∠CDB，
∴∠DPF+∠PDF=∠ACP+∠CAP=90°，
∴EF⊥BD，所以①正确；
作PH⊥BD于H，连接OA、OC、OB、OD，如图，
∵E为AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AOE=(1)/(2)∠AOC，∠DOH=(1)/(2)∠BOD，
∵∠ABC=(1)/(2)∠AOC，∠BCD=(1)/(2)∠BOD，
∴∠AOE=∠ABC，∠DOH=∠BCD，
而∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠AOE+∠DOH=90°，
而∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠DOH，
在△AOE和△ODH中，

∠AEO＝∠OHD

∠EAO＝∠HOD

OA＝DO

，
∴△AOE≌△ODH（AAS），
∴OE=DH，
∵OH⊥BD，
∴BH=DH，
∴OE=(1)/(2)BD，所以③正确；
在Rt△OAE中，∵AE²+OE²=OA²，
而AE=(1)/(2)AC，OE=(1)/(2)BD，
∴AC²+BD²=4OA²，
而OA为圆的半径，为定值，
∴AC²+BD²的值为定值，所以②正确；
∵S_{四边形ADBC}=S_△ABC+S_△ABD
=(1)/(2)AB•CP+(1)/(2)AB•DP
=(1)/(2)AB（PC+DP），
=(1)/(2)AB•CD，
∴AB•CD=2S_{四边形ADBC}，所以④正确．
故选D．