△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，∠ACB=60°，AD为∠BAC的平分线交⊙O于D，BE⊥AD于E交⊙O于F，连AF、CD，OG⊥AF于G，BH⊥AF于H交AE于K，下列结论：①OG=12DC；②OF=KF；③OEAC＝3−12，其中正确的有（

Question

△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，∠ACB=60°，AD为∠BAC的平分线交⊙O于D，BE⊥AD于E交⊙O于F，连AF、CD，OG⊥AF于G，BH⊥AF于H交AE于K，下列结论：①OG=(1)/(2)DC；②OF=KF；③(OE)/(AC)＝(√(3)−1)/(2)，其中正确的有（　　）

A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer 1

过O点作OM⊥BF于点M，连OA，设⊙O的半径为r，如图，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC=45°，
∴弧DB=弧DC，
∴OD⊥BC，
∴△ODC为等腰直角三角形，
∴DC=√(2)OC=√(2)r，
∵∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
而BE⊥AD，
∴∠ABE=45°，
∴∠CBF=15°，
∴∠FAC=15°，
∵BH⊥AF，
∴∠BAH=90°-15°=75°，
∴∠ABH=90°-∠BAH=15°，
∴∠HBC=15°，
∵OG⊥AF，
∴OG∥BH，
∴∠GOC=∠HBC=15°，
而∠COF=2∠OBF=30°，
∴∠GOF=∠GOC+∠COF=15°+30°=45°，
∴△OGF为等腰直角三角形，
∴OG=(√(2))/(2)OF=(√(2))/(2)r，
∴OG：DC=(√(2))/(2)r：√(2)r=(1)/(2)，即OG=(1)/(2)DC，所以①正确；

∵EA=EB，∠EAF=∠EBK，
∴Rt△AEF≌Rt△BEK，
∴EF=EK，
∴△EKF为等腰直角三角形，
∴∠EKF=45°，
∴∠AFK=∠EKF-∠KAF=45°-30°=15°，
在Rt△BFH中，∠HBF=30°，
∴HF=(1)/(2)BF，
而MF=(1)/(2)BF，
∴HF=MF，
∵∠OFM=∠OBF=15°，
∴Rt△KFH≌Rt△OFM，
∴KF=OF，所以②正确；

∵OA=OB，EA=EB，
∴△EAO≌△EBO，
∴∠OEB=∠OEA=(1)/(2)×90°=45°，
∴△OME为等腰直角三角形，
∴OM=(√(2))/(2)OE，
延长GO交BF于N点，如图，
∴∠BON=∠GOC=15°，
∴∠ONM=15°×2=30°，
∴ON=2OM=√(2)OE，NM=√(3)OM=(√(6))/(2)OE，
∴BN=NO=√(2)OE，
∴BM=√(2)OE+(√(6))/(2)OE=（√(2)+(√(6))/(2)）OE，
在Rt△OMB中，OB²=OM²+MB²，
∴r²=（(√(2))/(2)OE）²+[（√(2)+(√(6))/(2)）OE]²，
整理得r²=[（√(3)+1）OE]²，
∴OE：r=（√(3)-1）：2，
∵在Rt△ABC中，AC=(1)/(2)BC=r，
∴(OE)/(AC)=(√(3)−1)/(2)，所以③正确．
故选D．