设直线x+y=1与椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=63，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为22，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=58，求椭圆方程．

Question

设直线x+y=1与椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．
（1）若a=(√(6))/(3)，求b的范围；
（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为(√(2))/(2)，求点P的纵坐标；
（3）若OA⊥OB，且S_△OAB=(5)/(8)，求椭圆方程．

Answer 1

（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，
消去y，得（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
x₁+x₂=(2a2)/(a2+b2)，x₁x₂=(a2−a2b2)/(a2+b2)，
因为直线与椭圆交于两点，故△=4a⁴-4（b²+a²）（a²-a²b²）＞0，
代入a=(√(6))/(3)，解得b＞(√(3))/(3)，且a＞b，
所以b的范围为((√(3))/(3)，(√(6))/(3))；
（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，
可得：x1+x2＝(2a2)/(a2+b2)，x1x2＝(a2−a2b2)/(a2+b2)，
由OA⊥OB可得x₁x₂+y₁y₂=0，解得a²+b²=2a²b²
即(1)/(2a2)+(1)/(2b2)＝1，代x₀=(√(2))/(2)到椭圆方程得(1)/(2a2)+(y20)/(b2)＝1，
即

y

2 0

＝(1)/(2)，
所以点P的纵坐标为±(√(2))/(2)．
（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则CD＝√(2)，S△COD＝(1)/(2)，
又△AOB，△COD两个三角形等高，故(AB)/(CD)＝(S△AOB)/(S△COD)＝(5)/(4)，
所以AB＝(5√(2))/(4)＝√(2)|x1−x2|，求得a2b2＝(16)/(7)
所以a2＝4，b2＝(4)/(7)，
所以椭圆方程为(x2)/(4)+(7y2)/(4)＝1．